Sierpinského trojúhelník: Jak z totálního chaosu vznikne geniální nekonečno obrazců

Sierpinského trojúhelník je jedním z obecně známých fraktálních útvarů. Fraktál je laicky řečeno geometrická konstrukce, která je sama sobě podobná při různých zvětšeních. Fraktál vypadá téměř stejně, když na něj hledíte z jakékoli blízkosti či vzdálenosti, chcete-li.

Princip Sierpinského trojúhelníku se jmenuje podle Wacława Sierpińského, polského matematika, který ho v roce 1915 poprvé popsal. Srozumitelně - pro laiky - vysvětluje tento princip na svém webu Martin Hinner, matematik a počítačový odborník, který se zabývá fraktální geometrií: 

Jako stromy

„Fraktály jsou geometrické útvary, které v sobě obsahují samy sebe. Jsou všude okolo nás. Typickým příkladem jsou stromy – když useknete stromu jednu větev, vypadá ta samotná větev jako zmenšený strom. Když z této větve useknete menší větvičku, vypadá zase jako malý stromeček. V abstraktním světě matematiky by se takhle stromy daly osekávat donekonečna, v reálném světě samozřejmě ne. Když se ale začnete dívat okolo sebe, tak zjistíte, že skoro všechno v přírodě má fraktální charakter – tudíž obsahuje to v sobě samo sebe.“

Potoky, řeky, mraky, orgány

„Potoky a řeky jsou také fraktály – větví se podobně jako stromy. I mraky na nebi jsou fraktály – když z mraku vezmete libovolnou část, vypadá jako původní mrak. Fraktály jsou i orgány v našem těle – díky tomu mají naše plíce obrovskou plochu při zachování malého objemu,“ zaznívá v odpovědi na otázku Jaké využití a účel má Sierpińského trojúhelník? na webu Odpovedi.cz.

Čím hlouběji, tím složitější

Pokud byste si rádi představili, jak fraktáty vypadají v reálném životě, přečtěte si i následující odstavce:

„V matematice existuje samostatná disciplína zvaná fraktální geometrie, která se zkoumáním fraktálů zabývá. Bylo jich popsáno již mnoho druhů, ovšem Mandelbrotova množina je naprosto unikátní. Je to takový fraktál všech fraktálů. Má totiž vlastnost, kterou jiné fraktály nemají. Je to jediný známý fraktál, který je nekonečně komplikovaný – čím hlouběji se budete nořit, tím složitější tvary budete nacházet.“

Vztahy mezi lidmi jako superfraktáty

„Stejný princip funguje i v méně hmatatelných oblastech – třeba v mezilidských vztazích. Když se podíváte na jednotlivé státy na světě a jejich vzájemné vztahy a pak se podíváte na menší jednotky, ze kterých je lidské společenství složeno – třeba na vztahy na pracovišti nebo vztahy dětí ve školní třídě, zjistíte, že mají stejný charakter. Ve třídě na základní škole je taky pár „sígrů“, kteří si vytvářejí okolo sebe skupinky následovatelů – stejně jako USA a Rusko mají svoje sféry vlivu. Stejně jako ve třídě jsou introverti, kteří nepatří do žádné skupinky, tak i ve světě jsou neutrální státy, které se kamarádí s každým nebo s nikým. Celá ta složitá pavučina mezilidských vztahů je totiž fraktál – obsahuje sama sebe na různých úrovních. Ať si vezmete jakkoli velkou skupinu lidí (rodinu, firmu, město, kraj, stát, světadíl, svět), budete na všech úrovních narážet na stejné vzorce vztahů. Větší celky jsou prostě poskládaný z menších, které jsou v podstatě stejné, jenom zmenšené,“ uzavírá přehledné vysvětlení Tomáš Prokopič, který se zhostil sepsání odpovědi na dotazovacím fóru Odpovědi.cz.

Vytvořte si Sierpinského trojúhelník sami

Na závěr našeho článku si ukážeme generování Sierpinského trojúhelníku metodou zvanou „chaos game“ (z angličtiny chaosová hra, hra chaosu), kterou popsal autor webu Veiner.eu v sekci Matematika. Tato metoda je založena na aplikaci definice množiny bodů tvořících trojúhelník - pro každý bod (roviny) platí, že pokud náleží do množiny, pak do ní náleží též bod ležící na středu spojnice tohoto bodu a libovolného vrcholu trojúhelníku. Algoritmus na počátku stanoví souřadnice vrcholů budoucího trojúhelníku a následně opakovaně vybírá náhodný vrchol trojúhelníku a vykreslí bod ležící na středu úsečky tvořené tímto vrcholem a bodem vygenerovaným v předchozím kroku. Přičemž první bod byl zvolený náhodně (ovšem tak, aby ležel uvnitř pomyslného trojúhelníku).

Postup

Zvol tři body v rovině (říkejme jim rohy). Libovolně zvol počáteční bod (říkejme mu kukátko), nejlépe uvnitř plánovaného trojúhelníka, ale podmínkou to není. Náhodně zvol jeden ze tří rohů. Z kukátka veď myšlenou úsečku do zvoleného rohu. Ve středu této úsečky nakresli bod (je to bod Sierpinského trojúhelníku). Přesuň kukátko do tohoto bodu. Opakuj do nekonečna.

Tak hodně zdaru!