Zdá se to jako hračka, ale většina dospělých to splete. Co vy na: 100 ÷ 5 × (2 + 3)?
Foto: racorn / Depositphotos
3 min
Zdánlivě jednoduché matematické příklady mohou zejména dospělým pořádně zamotat hlavu a často mají také tendence se přít o výsledku. Ten je však vždy jen jeden, dopočítáte se k němu, dodržíte-li pravidla precedence.
Přednost matematických operací je stanovena tak, aby bylo možné dosáhnout při výpočtech jednoznačného výsledku a logicky tak skládat jednotlivé členy zadání podle jejich významy. Samotný příklad je totiž obvykle reprezentací určité situace, v níž čísla zastupují počty předmětů či osob, které se pohybují v čase podle specifikovaných zákonitostí (opouštějí místnost, mění majitele apod.). Pokud tato specifika nejsou správně vnesena do zadání, může se stát, že výsledek výpočtu je zcela jiný než daná skutečnost. Právě proto je potřeba příklad sestavovat podle pravidel precedence, v konečném důsledku matematický příklad není nic jiného než přesná komunikace problému. Jak tedy chápat a řešit jednoduché příklady, které mohou mít velmi odlišné výsledky?
Výpočty příkladů podle matematické přednosti
Při výpočtu příkladů sestavených ze základních matematických operací, tedy sčítání, odečítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování se využívá několik základních pravidel. Jedná se jednak o pravidla spojená s precedencí, která se uplatňují v rámci hierarchie priorit operací a pak na jednotlivých úrovní, a jednak o zákony komutativní, asociativní a distributivní. Všechna tato pravidla určují, která matematická operace má v rámci celého zadání přednosti a jak při jeho řešení postupovat.
Varianty výpočtu zadaného příkladu
K výpočtu uvedeného zadání lze přistupovat hned několika způsoby (jen jeden je ovšem správný). Za základní je možné považovat výpočet zleva doprava, který nerespektuje závorky, v takovém případě by tedy výpočet postupoval jako 100÷5=20, 20×2=40, 40+3=43. Většina lidí si ovšem ze základní školy pravidlo, že závorky se řeší jako první, pamatuje, a proto s ním vždy počítá (jelikož výrazy v závorkách jednoduše patří k sobě). Pokud tedy uplatníme toto pravidlo, můžeme se dopracovat ke dvěma výsledkům s ohledem na to, zda upřednostníme násobení nebo dělení. V případě upřednostnění dělní vyjde výsledek 100, v případě upřednostnění násobení pak výsledek 4. Veliký rozdíl výsledků je právě důkazem nutnosti používat všechna pravidla, jinak by byla situace, kterou příklad reprezentuje, pochopena špatně.
Uplatnění pravidel a správný výsledek
U tohoto příkladu je potřeba aplikovat především pravidla precedence, která určují prioritu jednotlivých operací, přičemž nejvyšší prioritu, jak už bylo zmíněno, mají závorky. Výraz v závorce se vždy vypočte jako první, a to ve směru od vnitřních závorek k vnějším, je-li jich v příkladu více. Druhou prioritu mají pak mocniny a odmocniny, třetí násobení a dělení a nejnižší pak sčítání a odečítání. Na jednotlivých úrovních se pak vždy postupuje zleva doprava, tzn. že v případě zadaného příkladu má přednost nejdříve operace v závorce a následně dělení a až poté násobení. Podle uvedených pravidel by tak správně měl být příklad zapsán jako (100÷5) × (2 + 3) a výsledek je tedy 100.
Více o zákonech používaných při matematických výpočtech se dozvíte také v následujícím videu.